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【中学数学】確率問題の解き方(サイコロ・トランプ・カード・硬貨・玉を取り出すなど)

2021/08/31 2021/03/29

確率問題イラスト

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袋から玉を取り出して、戻して...あーー!もうわからないピヨーー!

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確率問題ですね。苦手な子が非常に多い分野です。

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教えて欲しいピヨ...。

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わかりました。教えてあげましょう!

トランプ問題の解き方

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まずはこの問題から一緒に解いていきましょう!

トランプ問題イラスト

ジョーカーを除く1組(52枚)のトランプから、1枚のカードを引く時、次の問いに答えなさい。

(1)取り出したカードが「ハートのA(エース)」である確率を求めなさい。

(2)取り出したカードが「A(エース)」である確率を求めなさい。

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解き方はとってもシンプルです!
以下のステップで解けちゃいます!

① 分母(全体の場合の数)を求める

② 分子(求める事柄の場合の数)を求める

③ 約分する

まず、分母となる「全体の場合の数」を出します。

トランプは、ジョーカーを除くと全部で「52枚」なので、分母は「52」になります。

トランプ問題イラスト

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続いて、(1)の分子(求める事柄の場合の数)を求めていきます。

52枚のトランプのなかで「ハートのエース」は何枚あるかというと、

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1枚ピヨね!

トランプ問題イラスト

なので、分子(求める事柄の場合の数)は「1」となります。

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最後に約分なんですが...

今回だと$\Large{\frac{1}{52}}$と約分ができませんので、これがそのまま答えとなります。

続いて、(2)です。取り出したカードが「A(エース)」である確率です。

52枚のトランプの中でA(エース)は何枚あるかというと、

トランプ問題イラスト

全部で4枚ですね。

分母は最初に出した「52」なので、$\Large{\frac{4}{52}}$となり、約分した最終的な答えは「$\Large{\frac{1}{13}}$」となります。

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意外と簡単ピヨね

2つのサイコロ問題の解き方

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お次はサイコロ問題です!

サイコロ問題イラスト

2つのサイコロを同時に投げるとき、
次の確率を求めなさい。

(1)出た目の和が10になる確率

(2)3の目がでない確率

(3)出た目の差が2になる確率

(4)少なくともどちらか一方が3以上になる確率

中学校の確率問題では「二つのサイコロを振る」問題はたくさん出てきます。

この手の問題の解き方も3つのステップで解けちゃいます!

① 分母(全体の場合の数)を求める

② 分子(求める事柄の場合の数)を求める

③ 約分する

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まずは分母(全体の場合の数)から求めていきます。

サイコロの目は「6つ」ありますね。

そのサイコロを2つ投げるわけなので、全体の場合の数は次のように考えることができます。(区別をするためにそれぞれ「サイコロA」と「サイコロB」とします)

サイコロ問題イラスト

となり、まずは分母(全体の場合の数)が求められました!

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「2つのサイコロを振る」ときの目の出方は「全部で36通り」というのはそのまま暗記しちゃいましょう。

それでは各問題を解いていきます。

(1)出た目の和が10になる確率

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サイコロの和が10になる出方は何があるかな?

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ん〜、(4,6)(5,5)(6,4)の3通りピヨ!

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その通り!

式にすると$\Large{\frac{3}{36}}$となります。約分すると答えは$\Large{\frac{1}{12}}$となります。

(2)3の目がでない確率

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まず、全体の場合の数(ここでは36)から「3が出る場合の数」を引いてあげます!

「〇〇が出ない場合の数」=「全体の場合の数」ー「〇〇が出る場合の数」

これにしたがって、3の目が一つでも入る組み合わせを書き出して、場合の数をだすとこうなります。

サイコロ問題イラスト

あとは、全体の場合の数から少なくとも3が出る場合の数を引いてあげます。

サイコロ問題イラスト

これで「3がでない場合の数」を出すことができました。

よって答えは「$\Large{\frac{25}{36}}$」となります。

(3)でた目の差が2になる確率

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まずは、出た目の差が2になる組み合わせを書き出してみましょう。

サイコロ問題イラスト

これで「出た目の差が2になる場合の数」が出ました。

あとは、分母を「36」にして分数にすると

$\Large{\frac{8}{36}}$

約分して、答えは$\Large{\frac{2}{9}}$となります

(4)少なくとも一方は3以上になる確率

サイコロの目で3以上のものは「3,4,5,6」の4つです。

ということは、3未満の目は「1,2」の2つだけなので、考え方としてはこうなります。

「全体の場合の数」ー「3未満の目が出る場合の数」
=「3以上の目がでる場合の数」

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3未満の目が出る組み合わせは何があるかな?

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ん〜、(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)の4つピヨ!

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そうなりますね!

したがって、36-4=32(少なくとも一方が3以上になる場合の数)となります。

よって、少なくとも一方が3以上になる確率は「$\Large{\frac{32}{36}}$」。約分して、答えは$\Large{\frac{8}{9}}$となります。

カードで整数作る問題の解き方

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整数問題は非常に簡単です!

カードで整数作る問題のイラスト

1〜5の数字が書かれたカードを連続で2枚取ります。

1枚目を十の位、2枚目を一の位として2けたの整数を作るとき、
次の確率を求めなさい。

(1)整数が3の倍数になる確率を求めなさい。

(2)整数が30以上になる確率を求めなさい。

まずは「全ての場合の数」から求めていきます。

ここでは樹形図を使います!

カードで整数作る問題のイラスト

分母が出たので次に各問題の解き方を説明していきます。

(1)整数が3の倍数になる確率

3の倍数になる整数を樹形図で探していきます。

カードで整数作る問題のイラスト

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全部で8パターンピヨね!

と言うことで、「整数が3の倍数になる確率」は$\Large{\frac{8}{20}}$で、約分すると答えは$\Large{\frac{2}{5}}$となります。

(1)整数が30以上になる確率

「整数が30以上」と言うことは、「10の位が3以上」だと言うことです。

なので樹形図で考えるとこうなります。

カードで整数作る問題のイラスト

なので、整数が30以上になる確率は$\Large{\frac{12}{30}}$、約分して答えは$\Large{\frac{2}{5}}$となります。

袋から玉を取り出す問題の解き方

袋から玉を取り出す問題イラスト

赤玉4個と青玉3個が入っている袋があります。
この袋から玉を1個取り出して色を確認し袋に戻します。

戻したらまたもう一度袋から玉を取り出すとき、次の確率を求めなさい。

(1)赤玉と青玉が出る確率

(2)同じ色の玉が出る確率

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「1回戻す」やつが苦手ピヨ...。

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実は考え方は「2つのサイコロ」問題と非常によく似ています。

まず、全体の場合の数を出していきます。

サイコロを2つ振る場合の出る目の組み合わせは、「6×6=36通り」という計算をしましたね。

これと考え方は全く一緒です。今回、袋の中には「7つ」玉が入ってます。なので、玉の出方は7通りですね。

玉を取ったら袋に戻してしまうので、2回目に玉を取るときの玉の出方も7通りです。

なので、全体の場合の数は「7×7=49」となります。

それでは(1)と(2)を順番に解いていきましょう。

(1)赤玉と青玉が出る確率

袋から玉を取り出す問題イラスト

まず前提として、全ての玉は区別して考えなければいけません。

赤玉4つはそれぞれ別物、青玉3つは全て別物ということです。

なので、まずは玉に数字を振って(こんな感じで)

玉に番号をふるイラスト

区別してあげましょう。

今回求めたいのは、「赤玉と青玉が出る確率」なので、まずは、

・1回目に赤玉、2回目に青玉が出る場合の数

・1回目に青玉、2回目に赤玉が出る確率

をそれぞれ求めていきます。

まず、場合の数ですね。

合計で2回取り出しますが、取り出すたびに袋に戻しているので、取り出し方の場合の数は「7×7=49通り」となります。

その上で、「1回目に青玉、2回目に赤玉が出る場合の数」を計算してみると、
赤玉→青玉:4×3=12通り
青玉→赤玉:3×4=12通り

ということで、赤玉と青玉がでる場合の数は「24通り」となります。

よって、(1)の答えは$\Large{\frac{24}{49}}$

(2)同じ色の玉が出る確率

続いて、(2)の「同じ玉が出る確率」を求めていきます。

解き方の手順は「1回目に赤玉、2回目も赤玉」「1回目に青玉、2回目も青玉」が出る確率をそれぞれ出して、最後に足すという流れです。

「1回目に赤玉、2回目も赤玉」が出る確率は、$\Large{\frac{4}{7}×\frac{4}{7}=\frac{16}{49}}$

「1回目に青玉、2回目も青玉」が出る確率は、$\Large{\frac{3}{7}×\frac{3}{7}=\frac{9}{49}}$

それぞれの答えを足すと、

$\Large{\frac{16}{49}+\frac{9}{49}=\frac{25}{49}}$

(2)の答えは$\Large{\frac{25}{49}}$

硬貨問題の解き方

お金イラスト

500円、100円、50円、10円の硬貨が1枚ずつあります。この4枚を同時に投げるとき、次の問いに答えなさい。

(1)表裏の出方は全部で何通りありますか。

(2)4枚のうち2枚以上が表になる確率を求めなさい。

(3)表がでた硬貨の合計金額が、530円以上になる確率を求めなさい。

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硬貨の出方の問題ピヨね...

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硬貨の問題は簡単ですよ!

(1)表裏の出方は何通りあるか

硬貨は全部で4枚あります。一枚ずつで考えると表と裏で2通りの出方があります。

これが4枚あると次のようになります。

コイン樹形図

上の図からわかるように、式にするなら

$\Large{2×2×2×2=2^4=16}$通り

となります。

これが、(1)の答えになりますね。

(2)4枚のうち2枚以上が表になる確率

「2枚以上が表になる確率」の求める手順はこうです。

① 表が1枚しかでない確率を求める

② 表が一枚も出ない確率を求める

③ ①と②の和を全体の場合の数から引く

となります。

つまり、「2枚以上が表になる確率」を求めにいくというより、2枚以上が表になる場合"以外"を考えます。

まず手順①の「表は1枚しか出ないパターン」は全部で4通り(表裏裏裏・裏表裏裏・裏裏表裏・裏裏裏表)あります。

確率にすると$\Large{\frac{4}{16}}$

次に、手順②の「表が1枚も出ないパターン」は1通り(裏裏裏裏)ですね。

確率にすると$\Large{\frac{1}{16}}$

最後に全体の場合の数から①と②の和を引いてあげます。

$\Large{\frac{16}{16}-(\frac{4}{16}+\frac{1}{16})=\frac{11}{16}}$

4枚のうち2枚以上が表になる確率は$\Large{\frac{11}{16}}$となります。

(3)表がでた硬貨の合計が530円以上になる確率

これは、まず530円以上になる硬貨の組み合わせを書き出していきましょう。

500+100+50+10=660円

500+100+50=650円

500+100+10=610円

500+100=600円

500+50+10=560円

500+50=550円

この6通りが、530円以上になる組み合わせになります。

よって、$\Large{\frac{6}{16}=\frac{3}{8}}$となります

いかがでしたか?

確率問題っていろいろな種類があると思ってしまいそうですが、実際にはほとんどやってることは同じです。

分数の分母に「全体の場合の数」を当てはめて、分子に「求めなくてはならない場合の数」当てはめて、最後に約分して〜といったように。

今このページを読んでいる方が、わからなかった確率の問題を改めて解き直してみてください。

スラスラ解けるようになってるはずです!

うさぎ先生のプロフィール

この記事を書いた人

職業...塾講師・家庭教師
(塾講師歴10年/家庭教師歴12年)
塾や家庭教師を選ぶ際に口コミや評判を調べてみても
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それなら私が自身の経験をもとに作っちゃえ!
ってことでこのサイトを作りました。