【中学数学】確率問題の解き方（サイコロ・トランプ・カード・硬貨・玉を取り出すなど）

トランプ問題の解き方

まず、分母となる「全体の場合の数」を出します。

トランプは、ジョーカーを除くと全部で「52枚」なので、分母は「52」になります。

52枚のトランプのなかで「ハートのエース」は何枚あるかというと、

なので、分子（求める事柄の場合の数）は「１」となります。

今回だと$\Large{\frac{1}{52}}$と約分ができませんので、これがそのまま答えとなります。

続いて、（２）です。取り出したカードが「A（エース）」である確率です。

52枚のトランプの中でA（エース）は何枚あるかというと、

全部で４枚ですね。

分母は最初に出した「52」なので、$\Large{\frac{4}{52}}$となり、約分した最終的な答えは「$\Large{\frac{1}{13}}$」となります。

２つのサイコロ問題の解き方

中学校の確率問題では「二つのサイコロを振る」問題はたくさん出てきます。

この手の問題の解き方も３つのステップで解けちゃいます！

サイコロの目は「６つ」ありますね。

そのサイコロを２つ投げるわけなので、全体の場合の数は次のように考えることができます。（区別をするためにそれぞれ「サイコロA」と「サイコロB」とします）

となり、まずは分母（全体の場合の数）が求められました！

それでは各問題を解いていきます。

（１）出た目の和が１０になる確率

式にすると$\Large{\frac{3}{36}}$となります。約分すると答えは$\Large{\frac{1}{12}}$となります。

（２）３の目がでない確率

これにしたがって、３の目が一つでも入る組み合わせを書き出して、場合の数をだすとこうなります。

これで「３がでない場合の数」を出すことができました。

よって答えは「$\Large{\frac{25}{36}}$」となります。

（３）でた目の差が２になる確率

これで「出た目の差が２になる場合の数」が出ました。

あとは、分母を「３６」にして分数にすると

$\Large{\frac{8}{36}}$

約分して、答えは$\Large{\frac{2}{9}}$となります

（４）少なくとも一方は３以上になる確率

サイコロの目で３以上のものは「３,４,５,６」の４つです。

ということは、３未満の目は「１,２」の２つだけなので、考え方としてはこうなります。

したがって、36-４＝32（少なくとも一方が３以上になる場合の数）となります。

よって、少なくとも一方が３以上になる確率は「$\Large{\frac{32}{36}}$」。約分して、答えは$\Large{\frac{8}{9}}$となります。

カードで整数作る問題の解き方

まずは「全ての場合の数」から求めていきます。

ここでは樹形図を使います！

分母が出たので次に各問題の解き方を説明していきます。

（１）整数が３の倍数になる確率

と言うことで、「整数が３の倍数になる確率」は$\Large{\frac{8}{20}}$で、約分すると答えは$\Large{\frac{2}{5}}$となります。

（１）整数が30以上になる確率

「整数が３０以上」と言うことは、「１０の位が３以上」だと言うことです。

なので樹形図で考えるとこうなります。

なので、整数が３０以上になる確率は$\Large{\frac{12}{30}}$、約分して答えは$\Large{\frac{2}{5}}$となります。

袋から玉を取り出す問題の解き方

まず、全体の場合の数を出していきます。

サイコロを２つ振る場合の出る目の組み合わせは、「6×6=36通り」という計算をしましたね。

これと考え方は全く一緒です。今回、袋の中には「7つ」玉が入ってます。なので、玉の出方は７通りですね。

玉を取ったら袋に戻してしまうので、２回目に玉を取るときの玉の出方も７通りです。

なので、全体の場合の数は「7×7＝49」となります。

それでは（１）と（２）を順番に解いていきましょう。

（１）赤玉と青玉が出る確率

まず前提として、全ての玉は区別して考えなければいけません。

赤玉４つはそれぞれ別物、青玉３つは全て別物ということです。

なので、まずは玉に数字を振って（こんな感じで）

区別してあげましょう。

今回求めたいのは、「赤玉と青玉が出る確率」なので、まずは、

・１回目に赤玉、２回目に青玉が出る場合の数

・１回目に青玉、２回目に赤玉が出る確率

をそれぞれ求めていきます。

まず、場合の数ですね。

合計で２回取り出しますが、取り出すたびに袋に戻しているので、取り出し方の場合の数は「7×7=49通り」となります。

その上で、「１回目に青玉、２回目に赤玉が出る場合の数」を計算してみると、
赤玉→青玉：4×3=12通り
青玉→赤玉：3×4=12通り

ということで、赤玉と青玉がでる場合の数は「24通り」となります。

よって、（１）の答えは$\Large{\frac{24}{49}}$

（２）同じ色の玉が出る確率

続いて、（２）の「同じ玉が出る確率」を求めていきます。

解き方の手順は「１回目に赤玉、２回目も赤玉」「１回目に青玉、２回目も青玉」が出る確率をそれぞれ出して、最後に足すという流れです。

「１回目に赤玉、２回目も赤玉」が出る確率は、$\Large{\frac{4}{7}×\frac{4}{7}=\frac{16}{49}}$

「１回目に青玉、２回目も青玉」が出る確率は、$\Large{\frac{3}{7}×\frac{3}{7}=\frac{9}{49}}$

それぞれの答えを足すと、

$\Large{\frac{16}{49}+\frac{9}{49}=\frac{25}{49}}$

（２）の答えは$\Large{\frac{25}{49}}$

硬貨問題の解き方

（１）表裏の出方は何通りあるか

硬貨は全部で4枚あります。一枚ずつで考えると表と裏で2通りの出方があります。

これが4枚あると次のようになります。

上の図からわかるように、式にするなら

$\Large{2×2×2×2=2^4=16}$通り

となります。

これが、（１）の答えになりますね。

（２）４枚のうち２枚以上が表になる確率

「2枚以上が表になる確率」の求める手順はこうです。

① 表が1枚しかでない確率を求める

② 表が一枚も出ない確率を求める

③ ①と②の和を全体の場合の数から引く

となります。

つまり、「2枚以上が表になる確率」を求めにいくというより、2枚以上が表になる場合"以外"を考えます。

まず手順①の「表は1枚しか出ないパターン」は全部で4通り(表裏裏裏・裏表裏裏・裏裏表裏・裏裏裏表)あります。

確率にすると$\Large{\frac{4}{16}}$

次に、手順②の「表が1枚も出ないパターン」は1通り（裏裏裏裏）ですね。

確率にすると$\Large{\frac{1}{16}}$

最後に全体の場合の数から①と②の和を引いてあげます。

$\Large{\frac{16}{16}-(\frac{4}{16}+\frac{1}{16})=\frac{11}{16}}$

4枚のうち2枚以上が表になる確率は$\Large{\frac{11}{16}}$となります。

（３）表がでた硬貨の合計が530円以上になる確率

これは、まず530円以上になる硬貨の組み合わせを書き出していきましょう。

500+100+50+10=660円

500+100+50=650円

500+100+10=610円

500+100=600円

500+50+10=560円

500+50=550円

この6通りが、530円以上になる組み合わせになります。

よって、$\Large{\frac{6}{16}=\frac{3}{8}}$となります